พฤติกรรมของระบบ ที่ค่าพารามิเตอร์ r ต่างๆ

• 0 ≤ r ≤ 1 {\displaystyle 0\leq r\leq 1} , ประชากรจะตายไปจนหมดโดยไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้น โดยระบบมีจุดตายตัว (fixed point) เพียงจุดเดียวที่ x = 0 {\displaystyle x=0} ซึ่งเป็นจุดตายตัวแบบดึงดูด(attracting fixed point) หรือ เรียกว่า "จุดดูดซับ" (sink) และดึงดูดค่าเริ่มต้นทุกค่าใน [0,1]
• 1 < r ≤ 3 {\displaystyle 1<r\leq 3} , ระบบมีจุดตายตัว 2 จุดคือที่ x = 0 {\displaystyle x=0} และ x = ( r − 1 ) / r {\displaystyle x=(r-1)/r} โดยที่ x = 0 {\displaystyle x=0} เป็นจุดตายตัวแบบผลักออก(repelling fixed point) หรือ เรียกว่า "จุดกำเนิด" (source) และ x = ( r − 1 ) / r {\displaystyle x=(r-1)/r} เป็น จุดตายตัวแบบดึงดูด
  • ที่ค่า r อยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 จำนวนประชากรจะลู่เข้าหาค่า ( r − 1 ) / r {\displaystyle (r-1)/r} และคงตัวอย่างรวดเร็ว
  • ที่ค่า r อยู่ระหว่าง 2 และ 3 จำนวนประชากรจะเริ่มแกว่งก่อนลู่เข้าหาจุดดูดซับ โดยมีอัตราการลู่เข้าเป็นเชิงเส้น
  • ที่ค่า r เท่ากับ 3 อัตราการลู่เข้าจะช้ากว่าอัตราที่เป็นเชิงเส้น
• 3 < r ≤ 1 + 6 {\displaystyle 3<r\leq 1+{\sqrt {6}}} (ประมาณ 3.45) จำนวนประชากรจะมีค่าแกว่งสลับระหว่างค่า 2 ค่า ซึ่ง 2 ค่านี้ขึ้นกับค่า r แต่ไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้น ซึ่งก็คือ ระบบมีจุดวงรอบคาบ 2 แบบดึงดูด หรือ จุดดูดซับแบบวงรอบคาบ2
• 1 + 6 < r < 3.54 {\displaystyle 1+{\sqrt {6}}<r<3.54} (โดยประมาณ) จำนวนประชากรจะมีค่าแกว่งสลับระหว่างค่า 4 ค่า ไม่ขึ้นกับค่เริ่มต้น ซึ่งก็คือ ระบบมีจุดดูดซับแบบวงรอบคาบ 4
• เมื่อค่า r มีค่าเพิ่มมากกว่า 3.54 จำนวนประชากรจะมีค่าแกว่งสลับ เป็นวงรอบด้วยคาบ 8,16,32 และเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ช่วงการเพิ่มของค่า r ที่ส่งผลให้คาบวงรอบการแกว่งเพิ่มขึ้นจะลดลงอย่างรวดเร็ว สัดส่วนของระยะของค่าพารามิเตอร์ที่ทำให้มีการเพิ่มคาบ (หรือเรียก ช่วงระยะไบเฟอร์เคชัน) ที่อยู่ถัดกัน จะลู่เข้าหา ค่าคงที่ไฟเกนบอม (Feigenbaum constant) δ = 4.669 ซึ่งพฤติกรรมดังกล่าวนี้จะไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้นแต่อย่างใด
• ที่ค่า r= 3.57 (โดยประมาณ) เป็นจุดที่ระบบเริ่มมีพฤติกรรมความอลวน ระบบจะไม่มีพฤติกรรมการแกว่งเป็นวงรอบดังค่า r ที่ผ่านมา แต่ระบบจะมีพฤติกรรมที่ไวต่อค่าเริ่มต้นซึ่งเป็นคุณลักษณะของความอลวน ความแตกต่างเพียงเล็กน้อยของค่าจำนวนประชากรเริ่มต้น จะมีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของค่าประชากรในระยะยาว
• ค่า r ระหว่าง 3.57 และ 4 มีหลายค่าที่ระบบมีพฤติกรรมความอลวน แต่ก็ยังมีค่า r บางค่าที่ระบบไม่แสดงพฤติกรรมความอลวน ตัวอย่างเช่น ที่ r ประมาณ 3.82 จะมีบางช่วงที่ระบบมีพฤติกรรมแกว่งเป็นวงรอบคาบ 3 และที่ค่า r สูงขึ้นเล็กน้อยจะแกว่งเป็นวงรอบคาบ 6, 12 และเพิ่มขึ้นตามลำดับ และจะมีบางช่วงที่มีการแกว่งเป็นคาบ 5 และอื่นๆ ซึ่งพฤติกรรมทั้งหมดนี้จะมีการแกว่งเป็นวงรอบ และไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้น
• ที่ค่า r = 4 และมากกว่านั้น ค่าของระบบจะลู่ออก สำหรับทุกค่าเริ่มต้นใน [0,1]

แผนผังไบเฟอร์เคชัน (bifurcation diagram) ดังรูป แสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมดังกล่าวข้างต้นนี้ โดยที่แกนนอนของแผนผังเป็น ค่า r และ แกนตั้งเป็นค่าจำนวนประชากร หรือค่าของระบบในระยะยาว

แผนผังไบเฟอร์เคชันนี้เป็น แฟร็กทัล ถ้าเราพิจารณาที่ค่า r = 3.82 ที่ระบบมีพฤติกรรมแกว่งเป็นวงรอบคาบ 3 เมื่อเราเลือกกิ่งหนึ่งใน 3 และขยายที่กิ่งนั้นเราจะเห็นภาพที่มีลักษณะเหมือนภาพเดิม